Đề thi vào lớp 10,Khối THPT chuyên trường ĐHSP Hà Nội năm 2009


Vòng 2

Bài 1.
Các số thực x, y thỏa mãn
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y
Bài 2. a) Cho phương trình x2 + bx + c = 0 , trong đó tham số b và c thỏa mãn đẳng thức b+c=4. Tìm các giá trị của b và c để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
b) Giả sử (x;y;z) là một nghiệm của hệ phương trình . Tính A=x+y+z Bài 3.
Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn các điều kiện sau i) ap+1 chia hết cho q ii) aq+1 chia hết cho p Chứng minh

Bài 4.
Cho (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (C khác A, B và trung điểm cung AB). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường tròn (O1) đường kính AH cắt CA tại E, đường tròn (O2) đường kính BH cắt CB tại F a) Chứng minh tứ giác AEFB nội tiếp b) Gọi O3 là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C qua O. Chứng minh H, O3, Dthẳng hàng c) Gọi S là giao điểm của các đường thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC với (O). Chứng minh KE vuông góc với KF Bài 5.
Một hình vuông có độ dài cạnh bằng 1 được chia thành 100 hình chữ nhật có chu vi bằng nhau (hai hình chữ nhật bất kì không có điểm chung trong). Ký hiệu P là chu vi của mỗi hình chữ nhật trong 100 hình chữ nhật này a) Hãy chỉ ra một cách chia để P=2,02 b) Hãy tìm giá trị lớn nhất của P