PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRUONG
Năm học : 2010 – 2011
Môn : Tóan
Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề )
Ngày thi : 13 / 12 / 2008


Câu 1 : ( 2 điểm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số
M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )

Câu 2 : ( 4 điểm ) Định a và b để đa thức A = x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác .

Câu 3 : ( 4 điểm ) Cho biểu thức :
P =

a) Rút gọn p .
b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / =

c) Với giá trị nào của x thì p = 7
d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên .

Câu 4 : ( 3 điểm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0


Câu 5 : ( 3điểm)
Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm)

Câu 6 : ( 4 điểm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất .


------------- Hết ----------


ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Câu 1 : ( 2 điểm ) Ta có M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
= ( xyz + xy2 + yx2 ) + ( xyz + xz2 + zx2 ) + ( xyz + yz2 + y2Z ) ( ½ đ )
= xy ( x + y + z ) + xz ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) ( ½ đ )
= ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) ( ½ đ )
Vậy M = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) ( ½ đ )
Câu 2 : ( 4 điểm )
Ta có thể viết : A = x4 – 6x3 + ax2 + bx + 1 = ( x2 – 3x + k )2
= x4 + 9x2 + k2 – 6x3 + 2kx2 – 6kx ( 1/2đ )
= x4 – 6x3 + ( 9 + 2k )x2 – 6kx + k2 ( 1/2 đ )
Đồng nhất 2 vế ta có :
a = 9 + 2k (1) ( 1/2đ )
b = - 6k (2)
1 = k2 (3)

Từ (3) ta suy ra : k = ± 1 ( 1/2 đ )
Nếu k = - 1 ; b = 6 và a = 7 ( ½ đ )
Ta có : A = x4 – 6 x3 + 7 x2 + 6 x + 1 = ( x2 – 3 x – 1 )2 ( ½ đ )
Nếu k = 1 ; b = - 6 ; a = 11 ( ½ đ )
Ta có : A = x4 – 6 x3 + 11 x2 – 6x + 1 = ( x2 – 3x + 1 )2 ( ½ đ )
Câu 4 : ( 3 điểm ) Vì a2 + b2 + c2 = 1 nên - 1 ≤ a , b , c ≤ 1
( a + 1 ≥ 0 ; b + 1 ≥ 0 ; c + 1 ≥ 0 ( ¼ đ )
Do đó : ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) ≥ 0 ( ¼ đ )
( 1 + a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ 0 (1) ( 1/2 đ )
Cộng 2 vế của (1) cho 1 + a + b +c + ab + bc + ca . Ta có :
abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ 1 + a + b + c + ab + bc + ac ( 1/2 đ )
Ta biết : 1 + a + b + c + ab + bc + ac =

( 1 + a2 + b2 + c2+ 2a + 2b + 2c + 2 ab + 2 bc + 2 ac ) = ( 1/2 đ )

( 1 + a + b + c )2 ≥ 0 ( vì a2 + b2 + c2 =