Các phương pháp biến đổi trong chứng minh BĐT
Tỏc : minhbka lờn lỳc: 14:09:13 Ngày 09-11-2007
1.Biến đổi tương đương: khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của BĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức...
Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện
, chứng tỏ rằng :

Giải:



, bất đẳng thức này đúng do giả thiết

Đẳng thức xảy ra

2.Đưa về hàm số: khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tục
Ví dụ:Cho các số x, y thỏa mãn :
và
.
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :


Giải:
Từ giả thiết
. Ta có :


Đặt
với
; có


P là hàm nghịch biến trong đoạn


( đạt khi
hoặc
).

( đạt khi
).
3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT,tùy từng dạng bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù hợp nhất cho bài toán
Ví dụ 1:
Cho
là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng:

Giải:
Do giả thiết








(đpcm)
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi

Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên
ta đều có:


:

bất đẳng thức cần chứng minh đúng với
.
Với
, đpcm
(1)
Ta có :










( đpcm).
Ví dụ 3:
Cho
. Chứng minh:

Giải:








Dấu “
” xảy ra
hoặc 2 trong 3 số
bằng 1, số còn lại bằng 0
4.Sử dụng tam thức bậc 2:
Ví dụ:
Chứng minh rằng với mọi u, v thỏa mãn điều kiện
, ta luôn có:

Giải:
- Nếu
thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng.
- Nếu
thì
với
và
đpcm



Vế trái (1) là tam thức bậc 2 với



nên (1) đúng
( đpcm)
5.Phương pháp quy nạp:
Ví dụ:
Chứng minh rằng với
thì


Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả của bài toán trên.
Giải:
Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát sau đây:
Với
.
Chứng minh ( bằng quy nạp toán học theo n):
- Với
( do
.
- Giả sử khẳng định đúng với
, ta sẽ chứng minh khẳng định cũng đúng với
.
Do khẳng định đúng với

Vì

Mà vế phải bằng




Vậy khẳng định đúng với

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong các bài toán BĐT và cực trị
Tỏc : minhbka lờn lỳc: 14:07:37 Ngày 09-11-2007
Thời gian qua mình đã nhận được nhiều yêu cầu của các bạn hướng dẫn cách làm bài tập về BĐT và cực trị.Đây cũng là mảng kiến thức sâu rộng và tương đối khó.Bài viết này sẽ hướng dẫn các bạn những hướng suy nghĩ và giải quyết các bài tập dạng này thông qua PP chọn "điểm rơi"-tức là những điểm ta dự đoán được để từ đó có hướng giải quyết phù hợp nhất.
Ký hiệu sqrt là căn bậc 2 và cbb là căn bậc 3
Ta hãy bắt đầu từ 1 bài toán đơn giản:
Bài 1: Cho
.Tìm Min của:

Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi ngay để
vì dấu = xảy ra khi a=1, mâu thuẫn với đk

Ta dự đoán từ đề bài rằng P sẽ nhỏ nhất khi a=3 và đây chính là "điểm rơi" của bài toán.Khi a=3 thì
và

Ta áp dụng Cosi như sau: ta có

Khi đó kết hợp với đk
ta có

Dễ thấy khi a=3 thì
.Vậy
khi a=3
Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR:


Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi a=b=c=1.Lúc này
và 1+b=2.Ta áp dụng Cosi như sau:


Tương tự cho 2 BĐT còn lại.Khi đó ta có
.Tiếp tục áp dụng Cosi cho 3 số ta có
.Thay vào ta có

Bài 3:
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z