Đường trung bình của tam giác

Khai thác bài toán trong sách giáo khoa nhiều khi đem đến cho chúng ta những điều lí thú và sâu sắc.
Bài toán A :
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.


Hướng dẫn

MN là đường trung bình của tam giác ABC => MN // AC và MN = 1/2 AC.

QP là đường trung bình của tam giác ADC => QP // AC và QP = 1/2 AC.

Do đó MN // QP và MN = QP => tứ giác MNPQ là hình bình hành. * Câu hỏi được đặt ra : Liệu tứ giác ABCD không lồi thì tứ giác MNPQ có là hình bình hành không ?

Dễ thấy hoàn toàn tương tự trên ta chứng minh được tứ giác MNPQ là hình bình hành. Ta có hai bài toán mới. 
Bài toán 1 :

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, P lần lượt là trung điểm hai đường chéo AB, DC. N, Q lần lượt là trung điểm các cạnh BC, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Bài toán 2 :
Cho tam giác ABD, C là điểm nằm trong tam giác ABD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Từ bài toán A nhận ra rằng nếu trên các cạnh BC có điểm E, trên cạnh AD có điểm F (E ≠ N, F ≠ Q) mà tứ giác MEPF là hình bình hành thì cũng có tứ giác ENFQ là hình bình hành, do vậy giúp ta giải được bài toán hay và khó sau :
Bài toán 3 :
Cho tứ giác ABCD có M, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. E và F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh BC và DA (EB ≠ EC, FA ≠ FD) sao cho tứ giác MEPF là hình bình hành.

Chứng minh rằng BC // AD.

Bài toán A giúp ta giải được bài toán sau :
Bài toán 4 :
Cho ngũ giác ABCDE, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, DE, AE. H là trung điểm của NQ, K là trung điểm của MP. Chứng minh rằng KH // DC.

Và nếu I, J lần lượt là trung điểm các đường chéo AC, BD, bài toán A và bài toán 1 giúp ta đến với bài toán Giec gôn :
Bài toán 5 :
Chứng minh rằng đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo và các đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối của tứ giác lồi gặp nhau tại một điểm.

Hơn nữa, ta cũng nhận ra rằng ở bài toán A còn có :

AC vuông góc với BD tương đương MN vuông góc với MQ tương đương với MNPQ là hình chữ nhật.

AC = BD tương đương MN = MQ hay MNPQ là hình thoi.

Giúp ta đến với bài toán 6.
Bài toán 6 :
Gọi M, N, P, Q là các trung điểm các cạnh của tứ giác ABCD. Hai đường chéo AC và BD phải thỏa mãn những điều kiện nào để M, N, P, Q là 4 đỉnh của :

a) Hình chữ nhật ?
b) Hình thoi ?
c) Hình vuông ?
(Bài 13, trang 37 SGK Hình học 8, NXB Giáo dục 2000)
Câu c bài toán 6 giúp ta có lời giải bài toán Hay và Khó sau :
Bài toán 7 : Cho tam giác OBC. Về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông OBIA, OCKD. Gọi M, P lần lượt là tâm của các hình vuông OBIA, OCKD. Và N, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AD. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông. - Vẽ hình bài toán 7, nhận ra rằng M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD.

Do vậy “chìa khóa vàng” của bài toán là chứng minh AC = BD, AC vuông góc với BD điều này có được từ ΔOAC = ΔOBD (c - g - c).
Và như vậy từ hình 2 cũng cho ta bài toán mới.
Bài toán 8 :
Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC, CD, BD. Tứ giác ABCD phải thỏa mãn những điều kiện nào để M, N, P, Q là bốn đỉnh của :

a) Hình chữ nhật ? ;
b) Hình thoi ? ;
c) Hình vuông ?
Tương tự từ hình 3 cũng đến với ta bài toán 9.
Bài toán 9 : Cho tam giác ABC, C là điểm nằm trong tam giác ABD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA.

Các điểm A, B, C, D phải thỏa mãn những điều kiện nào để M, N, P, Q là bốn đỉnh của :
a) Hình chữ nhật ? ;
b) Hình thoi ? ;
c) Hình vuông ?
Và như vậy từ các bài toán : A ; 1 ; 2 ; 6 ; 8 ; 9 có được bài toán tổng quát sau chăng ?
Bài toán 10 : Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA.
Các điểm A, B, C, D phải thỏa mãn những điều kiện nào để M, N, P, Q là bốn đỉnh của :
a) Hình chữ nhật ? ;
b) Hình thoi ? ;
c) Hình vuông ?
Lại nhận ra rằng :
SMNP = 1/2.SMNPQ , SMNPQ = 1/2.SABCD .
Do vậy SMNP = 1/4.SMNPQ , đến với bài toán Hay và Khó sau :
Bài toán 11 : Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BD, CD. Chứng minh rằng SMNP = 1/4.SABCD.

Bài toán A chắc chắn còn nhiều điều hấp dẫn và thú vị, nếu ta tiếp tục suy nghĩ và tìm tòi.
Chuyên đề tiếp theo:

"Trong tam giác vuông, phân giác xuất phát từ đỉnh góc vuông luôn là phân giác của góc tạo bởi trung tuyến và đường cao xuất phát từ đỉnh ấy“
Aking =.=“




Chúc em học tốt !