ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI
Năm học: 2003 – 2004


Bài 1 (4 điểm). Cho hai số tự nhiên có 2 chữ số thỏa mãn tính chất sau: mỗi số bằng bình phương thiếu của tổng các chữ số của nó. Tìm hai số đó biết số thứ hai lớn hơn số thứ nhất 50 đơn vị

Giải: Gọi số nhỏ là
(a, b ( N*, 1 ≤ a, b ≤ 9). Theo giả thiết:


Suy ra: 15a = 5b ( 3a = b (
hay b  3 ( b ( {3; 6; 9}
– Với b = 3 thì a = 1 (thỏa mãn)
– Với b = 6 thì a = 2 (loại)
– Với b = 9 thì a = 3 (loại)
Vậy: Hai số phải tìm là 13 và 63

Bài 2 (4 điểm). Cho biểu thức M = a2 + b2 biết rằng a và b là nghiệm của phương trình 5a2 + 5b2 + 8ab = 18. Tìm những giá trị của a và b để :
a) M đạt giá trị lớn nhất
b) M đạt giá trị nhỏ nhất

Giải: a) 5a2 + 5b2 + 8ab = 18 ( M = 18 – 4a2 – 4b2 – 8ab = 18 – 4(a + b)2 ≤ 18
Dấu “=” xảy ra ( a = –b thay vào đẳng thức: 10a2 – 8a2 = 18 ( a2 = 9 ( a = ±3
Vậy: max M = 18 ( (a ; b) = (3 ; –3) hoặc (–3 ; 3)
b) 5a2 + 5b2 + 8ab = 18 ( 9(a2 + b2) = 18 + 4(a – b)2 ≥ 18 ( 9M ≥ 18 ( M ≥ 2
Dấu “=” xảy ra ( a = b thay vào đẳng thức: a = b = ±1
Vậy: min M = 2 ( a = b = ±1

Bài 3 (4 điểm). Cho phương trình x2 + px + q = 0 (1). Hãy tìm các giá trị nguyên của p và q sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm gấp 4 lần nghiệm kia

Giải: Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt và x2 = 4x1. Ta có:

. Suy ra: p2  25 ( p2 = 25k2 (k ( Z) ( p = ±5k
Do đó:

Vậy: (p; q) ( {(5k; 4k2), (–5k; 4k2)} với k ( Z thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm gấp 4 lần nghiệm kia

Bài 4 (4 điểm). Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ vuông góc với nhau tại A. Đường tròn bán kính R không đổi có tâm là điểm O di động trên xx’. Một đường tròn thứ hai có tâm là điểm C di động trên yy’, bán kính CA, đường tròn này tiếp xúc ngoài với đường tròn tâm O tại T
a) Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của hai đường tròn kẻ từ T đi qua một điểm cố định
b) Đặt OA = d. Hãy tính giá trị của d theo R để hai đường tròn bằng nhau. Trong trường hợp hai đường tròn bằng nhau hãy tính diện tích hình giới hạn bởi hai đường tròn với đường thẳng xx’

Giải: a) Gọi I là giao điểm của đường thẳng vuông góc với OC
tại T, H là giao điểm của OA và TI.
Xét hai tam giác AHI và THO có:
HT = HA (hai tiếp tuyến cắt nhau tại H)

(đối đỉnh)

(cùng bằng 900)
Suy ra: ∆AHI = ∆THO (g.c.g)
( AT = OT = R (không đổi) ( điểm I cố định
Vậy: Tiếp tuyến chung của hai đường tròn đi qua điểm
I cố định
b) Hai đường tròn bằng nhau ( CT = OT = R
Khi đó: CO2 = AC2 + OA2 ( 4R2 = R2 + d2 (

Suy ra: Hai đường tròn bằng nhau (
. (∆ACO là nửa tam giác đều)
* Tính diện tích hình giới hạn (S): Gọi diện tích hai hình quạt giới hạn
của (C) và (O) là S1, S2. Ta có: S = SACO – (S1 + S2)
Ta có:



Vậy:


Bài 5 (4 điểm). Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC cho trước. Đỉnh M di động trên cạnh AB, đỉnh N trên cạnh AC, các đỉnh P và Q theo thứ tự trên cạnh BC. Tam giác ABC có đường cao