ĐỀ THI HSG HUYỆN BÌNH XUYÊN – VĨNH PHÚC_NĂM HỌC 2008-2009

Bài 1. Cho hai số a, b khác 0 thỏa mãn: a + b = 1. Chứng minh rằng:

Bài 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho x3 – x2y + 3x – 2y – 5 = 0
Bài 3. Giải phương trình sau

Bài 4. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O và
(α < 900). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác AOB và COD. Gọi E, G và I lần lượt là trọng tâm của các tam giác AOB, BOC và AOD. Biết AH cắt DK tại F. Chứng minh rằng:
a) EG // AC và

b) FK = AD.cotgα
c) ΔIEG
 ΔHFK
Bài 5. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng:








HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. Cho hai số a, b khác 0 thỏa mãn: a + b = 1. Chứng minh rằng:

Giải:
Từ a + b = 1 ( (a + b)2 = 1 ( a2 + b2 = 1 – 2ab
Ta có:


Bài 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho x3 – x2y + 3x – 2y – 5 = 0 (1)
Giải:
Ta có: (1) ( y(x2 + 2) = x3 + 3x – 5 (

Vì y ( Z nên x – 5  x2 + 2 ( (x – 5)(x + 5) ( x2 + 2 ( x2 – 25 ( x2 + 2 ( x2 + 2 – 27 ( x2 + 2
( 27 ( x2 + 2
Vì x ( Z và x2 + 2 ≥ 2 nên: 27 ( x2 + 2
(

Thay vào phương trình:
Với x = 1 (không thỏa mãn)
Với x = –1 ( y = –3
Với x = 5 ( y = 5
Với x = –5 (không thỏa mãn)
Vậy: (x ; y) ( {(–1; –3) ; (5 ; 5)}
Bài 3. Giải phương trình sau

Giải: điều kiện: x ≥ 1


Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2
Bài 4. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O và
(α < 900). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác AOB và COD. Gọi E, G và I lần lượt là trọng tâm của các tam giác AOB, BOC và AOD. Biết AH cắt DK tại F. Chứng minh rằng:
a) EG // AC và

b) FK = AC.cotgα
c) ΔIEG
 ΔHFK
Giải:
a) ΔBMN có
( EG // AC (định lí Talet đảo)
Từ EG // MN (

Tương tự với tam giác APQ:
suy ra:

b) Ta có:
(hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)
Gọi L là giao điểm của FK và AC. Ta có:
(so le trong)
Ta có: FK = FL + LK = AL.cotgα + LC.cotgα = (AL + LC).cotgα = AC.cotgα
c) Chứng minh tương tự phần b) ta có: FH = BD.cotgα
Từ đó suy ra:
mặt khác, theo phần a)
suy ra:

Lại có:
= α (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng song song)
Do đó:
. Vậy: ΔIGE
 ΔHFK (c.g.c)

Bài 5. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng:


Giải. Ta có:
(Áp dụng bất đẳng thức: x2 + y2 ≥ 2xy)
Tương tự:
và

Do đó:

Mặt khác: (a + b + c)2 ≥ 3(ab + ac + bc) ( 3 ≥ ab + ac + bc ( –(ab + bc + ac) ≥ –3
Vậy:

Dấu “=” xảy ra ( a = b = c = 1