ĐỀ THI 19/4 (2007-2008)
Bài 1: (2 điểm)
SEGAMES 24 năm 2007 được tổ chức tại Thái Lan. Môn bóng đá nam có bốn đội vào bán kết là Việt Nam, Thái Lan, Singapore và Myanmar. Trước khi vào đấu vòng bán kết, ba bạn Dương, Quý, Toàn dự đoán như sau:
Dương: Thái Lan nhì, còn Singapore ba;
Quý : Myanmar nhì, còn Singapore thứ tư;
Toàn : Thái Lan nhất và Việt Nam nhì.
Kết quả mỗi bạn đoán đúng một đội và sai một đội. Hãy cho biết vị thứ của mỗi đội.
Bài 2: (3 điểm)
Tổng S = 2 + 22 + 23 + … + 2100 có thể chia hết cho 3 không?
Bài 3: (2 điểm)
Có chính xác bốn số nguyên dương n để
là một số nguyên. Hãy tìm số n lớn nhất như thế.
Bài 4: (3 điểm)
Không dùng máy tính cho biết 2100 có bao nhiêu chữ số?
Bài 5: (4 điểm)
Cho a, b, c không đồng thời bằng 0 thoả mãn: a2 + b2 + c2 = 2 và ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của a, b, c.
Bài 6: (3 điểm)
Cho một hình vuông cạnh là 1, trong đó chứa 51 điểm sắp sếp tuỳ ý. Chứng minh rằng luôn tìm được ít nhất 3 điểm trong số 51 điểm đã cho có thể nằm trong một đường tròn bán kính bằng
.
Bài 7: (3 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O có hai đường chéo cắt nhau tại M. Đường thẳng vuông góc với OM tại M cắt AB, BC, CD và DA lần lượt tại P, Q, R, S. Chứng minh rằng PS = QR.
















GỢI Ý GIẢI MỘT SỐ BÀI:
1. Dùng suy luận

I
II
III
IV

Dương

T
S


Quý

M

S

Toàn
T
V




Dễ dàng suy luận T nhất, từ đó có kết quả.
2. Dùng chia hết hoặc đồng dư
S = 2(1 + 2 + 22 + … + 299) = 2(2 – 1)(1 + 2 + 22 + … + 299)
= 2(2100 – 1)
Ta có: 22
1 (mod 3)
22.50
150 (mod 3)
2100 – 1
0 (mod 3)
2(2100 – 1)
0 (mod 3)
Vậy S chia hết cho 3.
6.Dùng DIRICHLET
Chia hình vuông thành 25 hình vuông nhỏ có cạnh 1/5.
Vì 51 = 25.2 + 1 nên có ít nhất 3 điểm nằm trong một hình vuông cạnh 1/5, hình vuông này có bán kính đường tròn ngoại tiếp là
<

Tồn tại một hình tròn bán kínhbằng 1/7 chứa hình vuông cạnh 1/5, tức chứa ít nhất 3 điểm trong số 51 điểm đã cho.
7.
Để c/m PS = QR, ta c/m MP = MR và MQ = MS.
(Từ O kẻ các đường thẳng vuông góc với các cạnh. Dùng kiến thức: đường kính và dây cung, tam giác đồng dạng, tứ giác nội tiếp suy ra các góc: MOP và MOR; MOQ và MOS bằng nhau).