I Một số bài toán và phương pháp chứng minh đẳng thức và m au: ối quan hệ đại số:
Phương pháp chứng minh vế trái (VT)bằng vế phải (VP)
Muốn chứng minh đẳng thức A(x,y,…,z) = B(x,y,…,z) thì ta có thể biến đổi đại số của VT hoặc VP để VT=VP.
Bài toán 1: Chứng minh rằng:
1. a3 - b3 = ( a –b) 3 + 3ab( a-b)
2. ( b-c)3 + (c-a)3 + (a-b)3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)
Phương pháp (PP): Trong bài toán này vế trái trái của đẳng thức là các hằng đẳng thức vì vậy chúng ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức phù hợp để giải.
Lời giải:
1. Đặt VT = a3 + b3 = (a- b)3 +3a2b - 3ab2
= ( a –b) 3 + 3ab( a-b) = VP (ĐPCM)
2. Đặt VT= b3-3b2c+3bc2-c3+c3-3c2a+3ca2-a3+a3-3a2b+3ab2-b3
= 3(-b2c+bc2-c2a+ca2-a2b+ab2)
= 3(a-b)(b-c)(c-a) =VP (ĐPCM)
Bài toán 2: Chứng minh rằng:

PP: Đây thực ra là một bài toán rút gọn biểu thức, cho nên muốn làm được bài này ta cần phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử từ đó rút gọn các nhân tử chung.
Lời giải: Ta có 2x2+3xy+y2=(x+1)(2x+y)
2x3+x2y -2 xy2-y3= (2x+y)(x-y)(x+y)
Khi đó:
(ĐPCM).
Bài toán 3: Với ba số a,b,c là ba số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

PP: Đây là một bài toán nếu nhìn bình thường thì ta nghĩ ngay đến việc quy đồng và thực hiện cộng ba phân thức với nhau, nhưng nếu làm như vậy ta sẻ đi đến một biểu thức tương đối khó. Với bài này ta nên thêm bớt vào tử thức để có thể đưa về các phân thức có mẫu bằng 1.
Lời giải:
Đặt VT =

=
+

=


= VP (ĐPCM).
Chú ý. Bài toán trên có thể biến đổi tương tương bằng cách chuyển VP sang VT.
2. Bài toán có điều kiện:
Đa số các bài toán nói chung và bài toán chứng minh đẳng thức và quan hệ đại số nói riêng là bài toán có điều kiện ban đầu( hay gọi là giả thiết) Trong quá trình giải toán HS thường băn khoăn không biết sử dụng giả thiết như thế nào cho đúng ?. Đây là một vấn đề nhạy cảm vì vậy cần hình thành cho HS một cái nhìn bao quán trong quá trình giải toán. Sau đây là một số bài toán như thế, qua đó ta có thể rèn luyện kỉ năng vận dụng giả thiết vào giải toán.
Bài toán 1 : Cho ba số a,b,c thoả mãn a+b+c =0. Chứng minh rằng:
(a2+b2+c2)2= 2(a4+b4+c4)
PP: Ta thấy VT và VP của đẳng thức là các luỹ thừa 2 và 4 vậy thì việc sử dụng GT a+b+c =0 như thế nào để làm xuất hiện các luỹ thừa cần dùng.
Lời giải: Do a+b+c = 0 nên (a+b+c)2=0

a2+b2+c2= -( 2ab+2bc+2ac)

(a2+b2+c2)2= 4(ab+bc+ac)2

a4+b4+c4 +2a2b2+2b2c2+2a2c2= 4(a2b2+b2c2+a2c2 +2ab2c+2a2bc+2abc2)

a4+b4+c4 = 2a2b2+2b2c2+2a2c2 +8abc(a+b+c) do a+b+c =0 nên

a4+b4+c4 = 2a2b2+2b2c2+2a2c2= 2(a2b2+b2c2+a2c2).
Mặt khác: (a2+b2+c2)2= 4(a2b2+b2c2+a2c2 ) +2abc(a+b+c)

(a2+b2+c2)2= 4(a2b2+b2c2+a2c2 ) (do a+b+c =0)
Khi đó: 2(a4+b4+c4 )= (a2+b2+c2)2 (ĐPCM)

Bài toán 2: Cho a2+b2=1 , c2+d2=1