CHUYÊN ĐỀ
VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
VÀO GIẢI BÀI TẬP


A/ ĐẶT VẤN ĐỀ

Là một giáo viên dạy toán lại tham gia công tác bồi dưỡng học sinh giỏi thì ngoài việc soạn giáo án .Việc đầu tư nghiên cứu chuyên sâu một vấn đề nào đó là hết sức quan trọng và cần thiết.
Trong chương trình hình học nói chung và chương trình hình học lớp 9 nói riêng các bài toán áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có một vị trí xứng đáng, các bài toán này rất phong phú, đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức, vận dụng một cách hợp lí nhiều khi khá độc đáo. Vì vậy các bài tập “Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông” thường xuyên xuất hiện trong các bài tập. Là một giáo viên giảng dạy môn Toán lớp 9, tôi mạnh dạn đầu tư thời gian nghiên cứu “Một số bài toán áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông” nhằm mục đích đáp ứng với yêu cầu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9, đồng thời cũng nâng cao năng lực chuyên môn của bản thân.
Tuy nhiên do trình độ chuyên môn còn hạn chế, thời gian eo hẹp nên chuyên đề của tôi chắc chắn không tránh khỏi thiếu xót, hạn chế. Rất mong các đồng nghiệp đọc, góp ý giúp đỡ để chuyên đề này ngày càng hoàn thiện hơn.












B/ NỘI DUNG

(I) – HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VUÔNG :

1/ b2 = ab’ ; c2 = ac’.
2/ h2 = b’.c’
3/ a2 = b2 + c2 (Pitago)
4/ ah = bc.
5/








(II) MỘT SỐ VÍ DỤ

Bài 1: Cho 2 yếu tố trong 6 yếu tố của
vuông ABC (a, b, h, b’, c’, c) thì có tính được các yếu tố còn lại.
Ví dụ: Cho
vuông ABC (
= 900), h =48, a = 100. Tính b, c, b’, c’.
Giải:
Từ hệ thức (4) trong (I) ta có: bc = ah = 100.48 = 4800 (*);
từ (3) => b2 + c2 = 1002 (**)
Từ (*), (**) => b2 + c2 + 2ac = 10.000 + 9600 = 19600.
=>
hoặc

=>
hoặc

Bài 2: Cho
ABC. Kẻ hai đường cao BB’ và CC’. Trên 2 đường cao lấy M
BB’, N
CC’ sao cho
= ANB = 900
Chứng minh : AM = AN (1)

Giải:








* Áp dụng định lý (I)-(4) vào các
vuông AMC vad ANB ta có:
AM2 = AB’.AC (1)
AN2 = AC’.AB (2)
* Do tứ giác BC’B’C nội tiếp => AB’.AC = AC’.AB (3) (hoặc từ
ABB’ ~
ACC’ ta cũng đưa được (3)). Từ 1, 2, 3 => AM2 = AN2 => AM = AN.
Bài 3: Cho
vuông ABC :
= 900. Kẻ đường cao Ah = h, AC = b; AB= c; HE
AB ; HF
AC.
Chứng minh các hệ thức sau:
1/
(m = BE ; n = FC ) (1)
2/ 3h2 + m2 + n2 = a2. (2)
3/ amn = h3. (3)
Giải:






Câu 1:
. Theo định lý (I)-4 thì:
b’2 = bn; c’2 =cm (
AHB và
AHC) =>
(4)
Ta lại có : b2 = ab’ ; c2 = ac’ =>
(5)
Từ (4) và (5) =>
 : đpcm
Câu 2 : 3h2 + m2 + n2 = a2. (2)
Vì

=> 3h2 + m2 + h2 = 3h2 +

= 3h2 +

= 3h2 + a2 – 3h2 = a2 => (2) : đpcm

Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a, một đường thẳng d qua A cắt BC, CD ở I, J. Chứng minh :
(1)
Giải:





* Kẻ AE
AI (E
CD) =>
ABI =
ADE
=> AI = AE (1’)
* Áp dụng định lý 4-5 vào
vuông EAJ ta có:

(2)
Từ (1’), (2) =>
=> (1) : đpcm
Bài 5: Cho
ABC kẻ các đường cao AD, BE, CF lần lượt cắt các đường tròn đường kính BC, CA, AB ở các