Chủ đề 1: Tính chia hết trong tập hợp số nguyên
Kiến thức cơ bản
Nắm được tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên
Vận dụng tốt tích chất để làm các bài tập
Phương pháp chung
I. Chứng minh tính chia hết trong tập hợp số nguyên
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n ( N hoặc n ( Z)
Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m, ta thường phân tích A(n) thành thừa số, trong đó có một thừa số là m. Nừu m là một hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó
Nhận xét: Trong k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bội của k
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
A = n3(n2 - 7)2 - 36n chí hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n
Giải:
Phân tích ra thừa số: 5040 = 24.32.5.7
Ta có:
A = n[n2(n2 - 7)2 - 36]
= n[(n3 - 7n)2 - 62]
= n(n3 - 7n - 6)(n3 - 7n + 6)
Ta lại có:
n3 - 7n - 6 = (n + 1)(n + 2)(n - 3)
n3 - 7n + 6 = (n - 1)(n - 2)(n + 3)
Do đó: A = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n - 3)
Đây chính là tích của bảy số nguyên liên tiếp. Trong bảy số nguyên liên tiếp
Tồn tại một bội của 5 nên A chia hết cho 5
Tồn tại một bội của 7 nên A chia hết cho 7
Tồn tại hai bội của 3 nên A chia hết cho 9
Tồn tại ba bội của 2, trong đó có một bội của 4 nên A chia hết cho 16
A chia hết cho các số 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 5.7.9.16 = 5040
áp dụng:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì
a2 - a chia hết cho 2
a3 - a chia hết cho 3
a5 - a chia hết cho 5
a7 - a chia hết cho 7
Gợi ý: Phân tích thành tích của các số nguyên liên tiếp, khi đó tồn tại các số là bội của 2, 3, 5, 7

Ví dụ 2: Số chính phương
Chứng minh rằng một số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1
Chứng minh rằng một số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1
Giải:
Gọi A là số chính phương A = n2 (n ( N)
a) Xét các trường hợp:
n = 3k (k (N) ( A = 9k2 chia hết cho 3
n = 3k ( 1 (k( N) ( A = 9k2 ( 6k +1 chia cho 3 dư 1
Vậy số chính phương chi cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1
b) Xét các trường hợp
n = 2k (k (N) ) ( A = 4k2 chia hết cho 4
n = 2k + 1 (k( N) ( A = 4k2 + 4k +1 = 4k(k + 1) + 1 chia cho 4 dư 1
Vậy số chính phương chi cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1
áp dụng:
Trong các số sau có số nào là số chính phương không?
M = 19922 + 19932 + 19942
N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952
P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100
Lưu ý: Các hằng đẳng thức hay dùng để chứng minh tính chia hết của một luỹ thừa.
an - bn = (a - b)(an-1 + an-2.b + an-3 .b2 +....+ a.bn-2 + bn-1) với n ( N*
an + bn = (a + b)(an-1 - an