Chủ đề : chứng minh tứ giác nội tiếp

I/ MỤC TIÊU CỦA CHỦ ĐỀ.
Qua chủ đề này giúp học sinh:
Biết được một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Vận dụng linh hoạt các phương pháp để chứng minh được các tứ giác nội tiếp đường tròn.
Vận dụng tính chất của tứ giác nội tiếp đường tròn để chứng minh các bài toán hình học có liên quan.
Rèn kỹ năng tìm lời giải và trình bày lời giải của một bài toán hình học.
Biết cách khai thác các bài toán hình học, từ đó rèn luyện tư duy độc lập sáng tạo trong học tập của học sinh

II/ Một số gợi ý để đi đến chứng minh tứ giác nội tiếp.



Chứng minh cho 4 đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó.
Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180
Chứng minh từ hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau.
Chứng minh tứ giác có tổng các góc đối bằng nhau.
Sử dụng định lí đảo về hệ thức lượng trong đường tròn.
Trường hợp phải chứng minh 5 điểm trở lên cùng nằm trên một đường tròn, ta chọn 3 điểm nào đó cố định, chọn điểm thứ 4 rồi chứng minh cho 4 điểm này nằm trên một đường tròn. Sau đó lại chứng minh 3 điểm cố định trên cùng với điểm thứ năm nằm trên một đường tròn và cứ tiếp tục như thế cho đến điểm cuối cùng. Như vậy tất cả các điểm đó, kể từ điểm thứ 4 trở đi đều nằm trên đường tròn đi qua 3 điểm đã chọn làm cố định, từ đó suy ra các điểm đó đều nằm trên một đường tròn.

II/ MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1:
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và dựng đường tròn đường kính MC. Nối BM và kéo dài gặp đường tròn tại D. Đường thẳng DA gặp đường trò tại S. Chứng minh rằng
ABCD là tứ giác nội tiếp
CA là phân giác của góc SCB.

Phân tích tìm cách giải

GT
có

Đường tròn đường kính MC.
MB cắt đường tròn tại D

KL
a/ ABCD là tứ giác nội tiếp.
b/ CA là tia phân giác





Nhận xét:
Vì A và D nằm cùng phía đối với đoạn thẳng BC mà
theo GT nên để chứng minh được tứ giác ABCD nội tiếp ta phải chứng minh
. Ta có
MDC
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Để chứng minh cho CA là đường phân giác
SCB, lợi dụng kết quả đã chứng minh ở câu a, ta có
ACB =
ADB ( cùng chắn cung AB ).
Mặt khác
SCA =
ADB ( cùng chắn cung SM của đường tròn đường kính MC) . Từ đó suy ra ĐPCM.



Lời giải ( tóm tắt )
a/
MDC
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC ). Mà
BAC
(GT) Từ A và D nằm cùng phía BC nhìn đoạn BC dưới góc
nên A và D nằm trên đường tròn đường kính BC
ABCD là tứ giác nội tiếp.
b/

ADB =
ACB ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

ADB =
SCM ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )


SCM =
ACB
CA là phân giác
SCB.
Khai thác bài toán:
Nhận xét 1:
Gọi K là giao điểm của BA và CD kéo dài. T là giao điểm của đường tròn đường kính MC với cạnh BC. Vì M là trực tâm tam giác KBC nên KM kéo dài phải qua T. Ta có câu hỏi tiếp theo cho bài toán 1
c/ Gọi T là giao điểm của đường tròn đường kính MC với BC và K là giao điểm của AB và CD kéo dài. Chứng minh rằng:
+ K, M, T thẳng hàng
+
ATK =
DTK
Nhận xét 2:
Theo kết quả đã chứng minh ở câu b thì
SCM =
TCM suy ra cung MS = cung TM
TS
MC
ST // AB. Ta có câu hỏi tiếp cho bài toán 1.
d/ Chứng minh rằng tứ giác KBTS là hình thang.
Nhận xét 3:
Ta thấy tam giác ASC đồng dạng với tam giác AMD. Ta có