§ 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

71. Trong hai số :
(n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ?
72. Cho biểu thức
. Tính giá trị của A theo hai cách.
73. Tính :

74. Chứng minh các số sau là số vô tỉ :

75. Hãy so sánh hai số :
;

76. So sánh
và số 0.
77. Rút gọn biểu thức :
.
78. Cho
. Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai
79. Tính giá trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng :
.
80. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của :
.
81. Tìm giá trị lớn nhất của :
với a, b > 0 và a + b ≤ 1.
82. CMR trong các số
có ít nhất hai số dương (a, b, c, d > 0).
83. Rút gọn biểu thức :
.
84. Cho
, trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z.
85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2…an = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n.
86. Chứng minh :
(a, b ≥ 0).
87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài
cũng lập được thành một tam giác.
HD
§ 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

71. Làm như bài 8c (§ 2). Thay vì so sánh
ta so sánh
và
. Ta có :
.
72. Cách 1 : Viết các biểu thức dưới dấu căn thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu.
Cách 2 : Tính A2 rồi suy ra A.
73. Áp dụng : (a + b)(a – b) = a2 – b2.
74. Ta chứng minh bằng phản chứng.
a) Giả sử tồn tại số hữu tỉ r mà
= r ( 3 + 2
+ 5 = r2 (
. Vế trái là số vô tỉ, vế phải là số hữu tỉ, vô lí. Vậy
là số vô tỉ.
b), c) Giải tương tự.
75. a) Giả sử a > b rồi biến đổi tương đương :

(
. Vậy a > b là đúng.
b) Bình phương hai vế lên rồi so sánh.
76. Cách 1 : Đặt A =
, rõ ràng A > 0 và A2 = 2 ( A =

Cách 2 : Đặt B =
( B =
0.
77.
.
78. Viết
. Vậy P =
.
79. Từ giả thiết ta có :
. Bình phương hai vế của đẳng thức này ta được :
. Từ đó : x2 + y2 = 1.
80. Xét A2 để suy ra : 2 ≤ A2 ≤ 4. Vậy : min A =
( x = ± 1 ; max A = 2 ( x = 0.
81. Ta có :
.

.
82. Xét tổng của hai số :
=
=
.
83.
=
=
.
84. Từ
(
.
Vậy x = y = z.
85. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 1 và ai ( i = 1, 2, 3, … n ).
86. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số a + b ≥ 0 và 2
≥ 0, ta có :

.
Dấu “ = “ xảy ra khi a = b.
87. Giả sử a ≥ b ≥ c > 0. Ta có b + c > a nên b + c + 2
> a hay

Do đó :
. Vậy ba đoạn thẳng
lập được thành một tam giác.