§ 7. CĂN BẬC BA

218. Tìm giá trị lớn nhất của A = x2(3 – x) với x ≥ 0.
219. Giải phương trình : a)
b)
.
220. Có tồn tại các số hữu tỉ dương a, b không nếu : a)
b)
.
221. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : a)

222. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với 3 số không âm :
.
223. Cho a, b, c, d > 0. Biết
. Chứng minh rằng :
.
224. Chứng minh bất đẳng thức :
với x, y, z > 0
225. Cho
. Chứng minh rằng : a < b.
226. a) Chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta có :
.
b) Chứng minh rằng trong các số có dạng
(n là số tự nhiên), số
có giá trị lớn nhất
227. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
228. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2(2 – x) biết x ≤ 4.
229. Tìm giá trị lớn nhất của
.
230. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x(x2 – 6) biết 0 ≤ x ≤ 3.
231. Một miếng bìa hình vuông có cạnh 3 dm. Ở mỗi góc của hình vuông lớn, người ta cắt đi một hình vuông nhỏ rồi gấp bìa để được một cái hộp hình hộp chữ nhật không nắp. Tính cạnh hình vuông nhỏ để thể tích của hộp là lớn nhất.
232. Giải các phương trình sau :









(a, b là tham số)
233. Rút gọn
.
234. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

235. Xác định các số nguyên a, b sao cho một trong các nghiệm của phương trình : 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 là
.
236. Chứng minh
là số vô tỉ.
237. Làm phép tính :
.
238. Tính :
.
239. Chứng minh :
.
240. Tính :
.
241. Hãy lập phương trình f(x) = 0 với hệ số nguyên có một nghiệm là :
.
242. Tính giá trị của biểu thức : M = x3 + 3x – 14 với
.
243. Giải các phương trình : a)
.


244. Tìm GTNN của biểu thức :
.
245. Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh : a + b + c + d ≥
.
246. Rút gọn :
; x > 0 , x ≠ 8
247. CMR :
là nghiệm của phương trình x3 – 6x – 10 = 0.
248. Cho
. Tính giá trị biểu thức y = x3 – 3x + 1987.
249. Chứng minh đẳng thức :
.
250. Chứng minh bất đẳng thức :
.
251. Rút gọn các biểu thức sau :
a)

c)
.


§ 7. CĂN BẬC BA
219. a) Xét 0 ≤ x ≤ 3. Viết A dưới dạng : A = 4.
.
.(3 – x). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm
,
, (3 – x) ta được :
.
.(3 – x) ≤
.
Do đó A ≤ 4 (1)
b) Xét x > 3, khi đó A ≤ 0 (2). So sánh (1) và (2) ta đi đến kết luận :

.
220. a) Lập phương hai vế, áp dụng hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta được :

( x = - 1 ; x = 7 (thỏa)
b) Điều kiện : x ≥ - 1 (1). Đặt
. Khi đó x – 2 = y2 ; x + 1 = z2
nên z2 – y3 = 3. Phương trình đã cho được đưa về hệ :


Rút z từ (2) : z = 3 – y. Thay vào (3) : y3 – y2 + 6y – 6 = 0 ( (y – 1)(y2 + 6) = 0 ( y = 1
Suy ra z = 2, thỏa mãn (4). Từ đó x = 3, thỏa mãn (1). Kết luận : x = 3.
221. a) Có, chẳng hạn :
.
b) Không. Giả sử tồn tại các số hữu tỉ dương a, b mà
. Bình phương hai vế :

.
Bình phương 2 vế : 4ab = 2 + (a + b)2 – 2(a + b)
( 2(a + b)
= 2 + (a + b)2 – 4ab
Vế phải là số hữu tỉ, vế trái là số vô tỉ (vì a + b ≠ 0),